高考数学专题：函数与导数综合应用

一、核心知识点讲解

函数与导数是高考数学中最具综合性与灵活性的模块之一，常作为压轴题或高分突破题出现。掌握好这一部分知识，不仅有助于解决选择、填空中的难题，更为解答大题提供思路支撑。

1. 函数的基本性质回顾

在进入导数应用前，需熟练掌握以下基础内容：

• 定义域与值域：明确函数成立的前提条件，特别是对数、根式、分式等复合函数。

• 单调性：函数在某个区间内上升或下降的趋势，直接影响极值判断。

• 奇偶性与周期性：辅助图像分析和简化计算。

• 图像特征：能根据表达式大致描绘图像走势，尤其注意转折点、渐近线、零点分布。

2. 导数的核心作用

导数的本质是“瞬时变化率”，在几何上体现为切线斜率，在代数上用于研究函数的变化趋势。

#### （1）导数的基本公式（常见初等函数）

| 函数 $ f(x) $ | 导数 $ f'(x) $ |

|------------------|-------------------|

| $ c $（常数） | $ 0 $ |

| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |

| $ \sin x $ | $ \cos x $ |

| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |

| $ e^x $ | $ e^x $ |

| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |

注：复合函数求导遵循链式法则，如 $ y = \ln(2x+1) $，则

$ y' = \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)' = \frac{2}{2x+1} $

#### （2）导数的应用方向

| 应用场景 | 判定方法 |

|----------------------|-----------------------------------|

| 单调性判断 | $ f'(x) > 0 \Rightarrow $ 增；$ < 0 \Rightarrow $ 减 |

| 极值点判定 | 先找驻点（$ f'(x)=0 $），再看左右符号是否变化 |

| 最值问题 | 比较区间端点与极值点处的函数值 |

| 曲线切线方程 | 切线斜率为 $ k = f'(x_0) $，过点 $ (x_0, f(x_0)) $ |

| 不等式证明 | 构造函数，利用单调性或最值进行放缩 |

| 零点个数讨论 | 结合图像、单调性和端点值估算 |

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二、典型例题分析

下面我们通过一道典型的综合题来深入剖析函数与导数的解题逻辑。

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【例题】

已知函数 $ f(x) = (x - a)e^x $，其中 $ a \in \mathbb{R} $。

（1）当 $ a = 2 $ 时，求曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (0, f(0)) $ 处的切线方程；

（2）若函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-1, 1) $ 上存在极小值，求实数 $ a $ 的取值范围。

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解题步骤详解

#### 第（1）问：求切线方程

**第一步：确定