高考数学专题：函数与导数综合应用

一、核心知识点讲解

函数与导数是高考数学中最具综合性与灵活性的模块之一，常作为压轴题或高分突破题出现。掌握好这一部分知识，不仅有助于解决选择、填空中的难题，更为解答大题提供思路支撑。

1. 函数的基本性质回顾

在进入导数应用前，需熟练掌握以下基础内容：

• 定义域与值域：明确函数成立的前提条件，特别是对数、根式、分式等复合函数。

• 单调性：函数在某个区间内上升或下降的趋势，直接影响极值判断。

• 奇偶性与周期性：辅助图像分析和简化计算。

• 图像特征：能根据表达式大致描绘图像走势，尤其注意转折点、渐近线、零点分布。

2. 导数的核心作用

导数的本质是“瞬时变化率”，在几何上体现为切线斜率，在代数上用于研究函数的变化趋势。

#### （1）导数的基本公式（常见初等函数）

| 函数 $ f(x) $ | 导数 $ f'(x) $ |

|------------------|-------------------|

| $ c $（常数） | $ 0 $ |

| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |

| $ \sin x $ | $ \cos x $ |

| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |

| $ e^x $ | $ e^x $ |

| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |

#### （2）求导法则

• 加减法则：$ (f \pm g)' = f' \pm g' $

• 乘法法则：$ (fg)' = f'g + fg' $

• 除法法则：$ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $

• 复合函数求导（链式法则）：若 $ y = f(u), u = g(x) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $

#### （3）导数的应用方向

| 应用场景 | 利用导数实现的目标 |

|----------------------|----------------------------------------|

| 判断单调性 | 分析 $ f'(x) > 0 $ 或 $ < 0 $ 区间 |

| 求极值点 | 解 $ f'(x) = 0 $ 并结合符号变化验证 |

| 求最值（闭区间） | 比较端点值与极值 |

| 曲线切线方程 | 利用点斜式：$ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) $ |

| 不等式证明 | 构造辅助函数，研究其单调性或最值 |

| 零点个数讨论 | 结合单调性、极值、极限行为综合判断 |

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二、典型例题分析

下面我们通过一道综合性较强的题目，系统梳理解题逻辑与技巧。

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【例题】

已知函数 $ f(x) = (x - 2)e^x + a(x - 1)^2 $，其中 $ a \in \mathbb{R} $。

（1）当 $ a = 1 $ 时，求曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (