高考数学专题：函数与导数综合应用

一、核心知识点讲解

函数与导数是高考数学中最具综合性与灵活性的模块之一，常作为压轴题或高分突破题出现。掌握好这一部分知识，不仅有助于解决选择、填空中的难题，更为解答大题提供思路支撑。

1. 函数的基本性质回顾

在进入导数应用前，需熟练掌握以下基础内容：

• 定义域与值域：明确函数成立的前提条件，特别是对数、根式、分式等复合函数。

• 单调性：函数在某个区间内上升或下降的趋势，直接影响极值判断。

• 奇偶性与周期性：辅助图像分析和简化计算。

• 图像特征：能根据表达式大致描绘图像走势，尤其注意转折点、渐近线、零点分布。

2. 导数的核心作用

导数的本质是“瞬时变化率”，在几何上体现为切线斜率，在代数上用于研究函数的变化趋势。

#### （1）导数的基本公式（常见初等函数）

| 函数 $ f(x) $ | 导数 $ f'(x) $ |

|------------------|-------------------|

| $ c $（常数） | $ 0 $ |

| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |

| $ \sin x $ | $ \cos x $ |

| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |

| $ e^x $ | $ e^x $ |

| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |

#### （2）求导法则

• 加减法则：$ (f \pm g)' = f' \pm g' $

• 乘法法则：$ (fg)' = f'g + fg' $

• 除法法则：$ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $

• 复合函数求导（链式法则）：若 $ y = f(u), u = g(x) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $

#### （3）导数的应用方向

| 应用场景 | 判定方法 |

|----------------------|------------------------------------|

| 单调性分析 | $ f'(x) > 0 $ → 增；$ f'(x) < 0 $ → 减 |

| 极值点判定 | $ f'(x_0)=0 $ 且左右符号变化 |

| 最值问题 | 比较端点值与极值 |

| 曲线切线方程 | $ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) $ |

| 不等式证明 | 构造函数，利用单调性或最值 |

| 零点个数讨论 | 结合图像与单调区间分析 |

---

二、典型例题分析

【例题1】单调性与参数讨论

已知函数 $ f(x) = x^3 - ax^2 + 3x - 1 $，若其在区间 $ (1, 2) $ 上单调递增，求实数 $ a $ 的取值范围。

#### 解题步骤：

第1步：求导

$$

f'(x) = 3x^2 - 2ax + 3

$$

题目要求 $ f(x)