高考数学专题：函数与导数综合应用

一、核心知识点讲解

函数与导数是高考数学中的重点和难点内容，贯穿于选择题、填空题与解答题之中。在新课标背景下，对函数性质的理解、导数的几何意义及实际应用能力的要求逐年提升。本专题聚焦函数单调性、极值、最值与导数之间的关系，结合典型例题帮助学生构建系统的解题思维框架。

1. 函数的单调性与导数符号的关系

设函数 $ f(x) $ 在区间 $ I $ 上可导：

• 若 $ f'(x) > 0 $ 对所有 $ x \in I $ 成立，则 $ f(x) $ 在 $ I $ 上单调递增；

• 若 $ f'(x) < 0 $ 对所有 $ x \in I $ 成立，则 $ f(x) $ 在 $ I $ 上单调递减；

• 若 $ f'(x) = 0 $ 在某点成立，该点可能是极值点或拐点，需进一步判断。

注意：导数为零的点不一定是极值点（如 $ f(x)=x^3 $ 在 $ x=0 $ 处）。

2. 极值的判定方法

常用两种方式判断极值：

#### （1）第一充分条件（导数变号法）

若在 $ x_0 $ 附近：

• 当 $ x < x_0 $ 时，$ f'(x) > 0 $；当 $ x > x_0 $ 时，$ f'(x) < 0 $ → $ f(x_0) $ 为极大值；

• 反之，则为极小值。

#### （2）第二充分条件（二阶导数判别法）

若 $ f'(x_0) = 0 $ 且 $ f''(x_0) \neq 0 $：

• 若 $ f''(x_0) < 0 $，则 $ f(x_0) $ 为极大值；

• 若 $ f''(x_0) > 0 $，则 $ f(x_0) $ 为极小值。

提示：仅适用于二阶导存在且非零的情形。

3. 最值问题处理策略

闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，通常出现在以下三类位置：

• 区间端点；

• 导数为零的点（驻点）；

• 导数不存在的点（如分段函数连接处、根式边界等）。

解决最值问题的一般步骤：

• 求定义域；

• 求导并解 $ f'(x) = 0 $ 得临界点；

• 将临界点与区间端点代入原函数比较函数值；

• 确定最大值与最小值。

---

二、典型例题分析

【例题1】已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $，求其在区间 $ [-1, 3] $ 上的最大值与最小值。

#### 解题思路分析：

这是一个典型的闭区间上多项式函数的最值问题，适合用导数法系统求解。

#### 解题步骤：

第一步：确定定义域

函数为多项式，定义域为全体实数，给定区间 $[-1, 3]$，无需额外限制。

第二步：求导并找临界点

$$

f(x) = x^3 - 3x^2 +